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一、什么是奇数 1、定义 奇数（odd）指不能被2整除的整数 ，数学表达形式为：2k+1， 奇数可以分为正奇数和负奇数。   2、日常叫法 日常生活中，人们通常把正奇数叫做单数，它跟偶数是相对的。奇数可以分为正奇数和负奇数。   二、奇数的分类与性质 1、分类 （1）正奇数 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33......   （2）负奇数 -1、-3、-5、-7、-9、-11、-13、-15、-17、-19、-21、-23.-25、-27、-29、-31、-33......   2、性质 （1） 两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数。   （2） 奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数+偶数+...+偶数=偶数。   （3） 奇数-奇数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数。   （4） 若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性，即a+b与a-b同为奇数或同为偶数。   （5） n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；算式中有一个是偶数，则乘积是偶数。   （6） 奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8。   （7） 奇数的平方除以2、4、8余1。   （8） 任意两个奇数的平方差是2、4、8的倍数。   （9） 奇数除以2余数为1。   三、奇数与素数 1、不同概念 奇数与素数是两个不同的概念，奇数可能是素数，也可能不是素数。例如3是奇数，是素数；9是奇数，但不是素数。   2、三素数定理 每一个奇数都能表示成为三个素数的和。  

一、什么是合数 1、定义 合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。   2、相关定义 与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。   二、合数的分类 1、半质数与楔形数 一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。   2、高合成数完全平方数 另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一数若有著比它小的整数都还多的因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。   3、其他分类 合数可分为奇合数和偶合数，也能基本合数（能被2或3整除的），分阴性合数（6N-1）和阳性合数（6N+1），还能分双因子合数和多因子合数。   三、合数的相关概念 1、算术基本定理 内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。   2、交换代数和代数数论 此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念，更一般的还有戴德金理想分解定理。  

一、什么是质数 1、定义 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。   2、除了1和它自身不能被其他自然数整除 质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。   二、质数的相关证明 1、质数的个数是无穷的 欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。   2、全部素数的倒数之和是发散的 其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。   三、质数的分布规律 以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。孪生质数也有相同的分布规律。   1、S1区间 1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）   2、S2区间 73——216，有素数27个，孪生素数7对。   3、S3区间 217——432，有素数36个，孪生素数8对。   4、S4区间 433——720，有素数45个，孪生素数7对。   5、S5区间 721——1080，有素数52个，孪生素数8对。   6、S6区间 1081——1512，素数60个，孪生素数9对。   7、S7区间 1513——2016，素数65个，孪生素数11对。   8、S8区间 2017——2592，素数72个，孪生素数12对。   9、S9区间 2593——3240，素数80个，孪生素数10对。   10、S10区间 3241——3960，素数91个，孪生素数19对。   11、S11区间 3961——4752素数92个，孪生素数17对。   12、S12区间 4752——5616素数98个，孪生素数13对。   13、S13区间 5617——6552素数108个，孪生素数14对。   14、S14区间 6553——7560素数113个，孪生素数19对。   15、S15区间 7561——8640素数116个，孪生素数14对。   四、质数的数目计算和性质 1、数目计算 （1） 在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。   （2） 存在任意长度的素数等差数列。   （3） 一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。   （4） 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。   （5） 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为（1 + 5）。   （6） 一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为（1 + 2）。   2、独特性质 （1） 质数p的约数只有两个：1和p。   （2） 任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。   （3） 质数的个数是无限的。   （4） 所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。    五、质数的应用 1、密码学 质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。   2、车变速箱齿轮 在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。   3、杀虫剂的使用 在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。   4、导弹鱼雷 以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。   5、生物生命周期 多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。   六、关于质数的猜想 1、哥德巴赫猜想 是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？   2、孪生素数猜想 孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？   3、斐波那契数列 斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？   4、梅森素数 是否有无穷多个的梅森素数？