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什么是质数?质数是什么东西？

发布时间：2021-10-01 / 作者：问答网整理 / 阅读：67次

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什么是质数, 质数的相关证明,质数的分布规律,质数的数目计算和性质,质数的应用,关于质数的猜想,小编在这为大家一一汇编总结。

一、什么是质数
1、定义
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
 
2、除了1和它自身不能被其他自然数整除
质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。
 
二、质数的相关证明
1、质数的个数是无穷的
欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。
 
2、全部素数的倒数之和是发散的
其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。
 
三、质数的分布规律
以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。孪生质数也有相同的分布规律。
 
1、S1区间
1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）
 
2、S2区间
73——216，有素数27个，孪生素数7对。
 
3、S3区间
217——432，有素数36个，孪生素数8对。
 
4、S4区间
433——720，有素数45个，孪生素数7对。
 
5、S5区间
721——1080，有素数52个，孪生素数8对。
 
6、S6区间
1081——1512，素数60个，孪生素数9对。
 
7、S7区间
1513——2016，素数65个，孪生素数11对。
 
8、S8区间
2017——2592，素数72个，孪生素数12对。
 
9、S9区间
2593——3240，素数80个，孪生素数10对。
 
10、S10区间
3241——3960，素数91个，孪生素数19对。
 
11、S11区间
3961——4752素数92个，孪生素数17对。
 
12、S12区间
4752——5616素数98个，孪生素数13对。
 
13、S13区间
5617——6552素数108个，孪生素数14对。
 
14、S14区间
6553——7560素数113个，孪生素数19对。
 
15、S15区间
7561——8640素数116个，孪生素数14对。
 
四、质数的数目计算和性质
1、数目计算
（1）
在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。
 
（2）
存在任意长度的素数等差数列。
 
（3）
一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。
 
（4）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。
 
（5）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为（1 + 5）。
 
（6）
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为（1 + 2）。
 
2、独特性质
（1）
质数p的约数只有两个：1和p。
 
（2）
任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
 
（3）
质数的个数是无限的。
 
（4）
所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。 
 
五、质数的应用
1、密码学
质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。
 
2、车变速箱齿轮
在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。
 
3、杀虫剂的使用
在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。
 
4、导弹鱼雷
以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。
 
5、生物生命周期
多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。
 
六、关于质数的猜想
1、哥德巴赫猜想
是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？
 
2、孪生素数猜想
孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
 
3、斐波那契数列
斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？
 
4、梅森素数
是否有无穷多个的梅森素数？
 
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